Los Ángulos Opuestos de un Cuadrilátero Cíclico Suman 180°
A, B, C y D están todos sobre la circunferencia, así que ABCD es un cuadrilátero cíclico. Le des la forma que le des al arrastrarlo, las dos parejas de ángulos opuestos suman 180°:
- ∠DAB + ∠BCD = 180°
- ∠ABC + ∠CDA = 180°
Los ángulos opuestos comparten color en el diagrama, de modo que la pareja se ve antes de empezar a calcular.
Cómo Usarla
Exploración Interactiva
Arrastra cualquier vértice por la circunferencia. Las dos parejas de color siguen sumando 180° en todo momento. Un vértice no puede pasar por encima de sus vecinos: eso plegaría el cuadrilátero sobre sí mismo y dejaría de ser la figura de la que trata el teorema.
Fíjate en qué ángulos se mueven de verdad mientras arrastras un vértice: mover A deja igual ∠DAB y ∠BCD, y cambia ∠ABC y ∠CDA a la vez. La pareja del vértice que arrastras se apoya en los arcos que no estás cambiando, así que se queda quieta: arrastrar A es otra vez el resultado de “ángulos en el mismo segmento”, escondido dentro de este teorema.
Resolver Problemas
Nuevas posiciones plantea una pregunta nueva. Se ocultan dos ángulos, uno de cada pareja de opuestos, marcados con x e y. Ocultar solo uno dejaría tres a la vista, más de los que el problema necesita; así se usan las dos parejas, y parte del trabajo consiste en decidir qué ángulo dado es el opuesto de cada incógnita.
Toca la x o la y del diagrama, o haz clic en el botón correspondiente, para comprobar una respuesta. Al pasar el ratón por un botón se ilumina el ángulo que nombra.
La pestaña Estilo cambia los colores de las parejas y el papel de fondo.
Notas Didácticas
- Los arcos se eligen de modo que cada ángulo sea un número entero y cada pareja sume exactamente 180°.
- Por qué funciona: cada ángulo se apoya en el arco opuesto, así que es su mitad. Los dos arcos de una pareja completan la circunferencia entera, y la mitad de 360° es 180°. Se deduce directamente del teorema del ángulo central.
- Una buena pregunta cuando ya tengan soltura: “Si un ángulo mide 90°, ¿qué sabes del opuesto? ¿Qué tipo de cuadrilátero podría ser?”
- Cuidado con el recíproco: el alumnado suele suponer que cualquier cuadrilátero cumple esta propiedad. Pídeles que lo prueben con un cuadrilátero cuyos vértices no estén todos sobre la circunferencia.