Las Dos Tangentes desde un Punto son Iguales
Desde un punto P exterior a una circunferencia hay exactamente dos rectas que la tocan. Se encuentran con la circunferencia en A y en B, y las dos longitudes son siempre iguales: PA = PB.
La figura OAPB es una cometa. OA y OB son radios, así que son iguales; PA y PB son las tangentes, así que son iguales; y OP es el eje de simetría que pasa por ambos.
Cómo Usarla
Exploración Interactiva
Arrastra P acercándolo o alejándolo de la circunferencia. Las dos tangentes se alargan y se acortan a la vez, y los puntos de tangencia se deslizan para seguirlas. Acerca P y las tangentes se encogen; aléjalo y se estiran, pero nunca se diferencian entre sí.
Arrastra A o B para girar toda la cometa alrededor de la circunferencia sin cambiar su tamaño.
El ángulo recto en cada punto de tangencia es el teorema de la tangente y el radio en acción: es lo que hace que los dos triángulos sean congruentes.
Resolver Problemas
Nuevas posiciones plantea una pregunta nueva: una tangente conserva su longitud y la otra se marca con x. Toca la x del diagrama, o haz clic en PA o PB, para comprobarlo.
La pestaña Estilo cambia los colores y el papel de fondo.
Notas Didácticas
- P se sitúa según la longitud de la tangente y no según su distancia al centro, de modo que las respuestas caen en medias unidades en lugar de decimales incómodos.
- Por qué funciona: los triángulos OAP y OBP comparten la hipotenusa OP, tienen radios iguales OA y OB, y ambos son rectángulos en el punto de tangencia. Con eso basta para que sean congruentes (caso hipotenusa-cateto), así que PA = PB.
- Esto implica además que OP bisecta tanto el ángulo en P como el ángulo central: merece la pena preguntarlo cuando el resultado de las longitudes esté asentado.
- Una buena continuación: ¿qué pasa cuando P se mueve hasta la propia circunferencia? Las dos tangentes se funden en una y la longitud se reduce a cero.