El Teorema del Segmento Alterno

La tangente toca la circunferencia en T, y la cuerda TA parte de ahí y la atraviesa. Esa cuerda divide la circunferencia en dos segmentos.

∠ATP —el ángulo entre la tangente y la cuerda— es igual a ∠ACT, el ángulo que forma cualquier punto C del segmento que queda al otro lado de la cuerda. Ese segmento es el alterno, y saber cuál es constituye casi todo el teorema.

Cómo Usarla

Exploración Interactiva

Arrastra C por su arco. Su ángulo no cambia en absoluto: es de nuevo el resultado de “ángulos en el mismo segmento”, y por eso sirve cualquier punto de ese segmento.

Arrastra T o A para abrir o cerrar la cuerda. Ahora sí cambian los dos ángulos, y lo hacen a la vez.

Abre mucho la cuerda y el ángulo entre tangente y cuerda se vuelve obtuso. El ángulo del segmento alterno lo sigue por encima de 90°: es el caso que más se falla, porque el ángulo que salta a la vista en T pasa a ser el otro.

Resolver Problemas

Nuevas posiciones plantea una pregunta nueva: un ángulo conserva su valor y el otro se marca con x. Toca la x del diagrama, o haz clic en ∠ATP o ∠ACT, para comprobarlo.

La pestaña Estilo cambia los colores y el papel de fondo.

Notas Didácticas

• T y A se ajustan en pasos de 2°, así que el arco entre ellos es par y los dos ángulos —cada uno su mitad— salen enteros.
• Por qué funciona: los dos ángulos son la mitad del arco TA que la cuerda separa. El ángulo entre tangente y cuerda es directamente esa mitad; el ángulo en C es el ángulo inscrito que se apoya en ese mismo arco.
• Lo difícil no es el cálculo, sino decidir qué pareja va junta. En T hay dos ángulos entre tangente y cuerda que suman 180°; el que corresponde es el que se apoya en el arco contrario a C.
• Conviene trabajarlo después de ángulos en el mismo segmento, para que el alumnado ya acepte que mover C no cambia nada.